Нет. У волка, кошки, попугая и лошадей в коде игры есть хозяин — тот, кто их приручил. У Эндер-дракона хозяина нет: это обычный враждебный моб, и ни еда, ни упряжь, ни команда не сделают его ручным. Кого игра даёт приручить — в разделе «Приручение», там их 9.
Яйцо дракона — трофей: из него никто не вылупится. От нажатия и удара оно только телепортируется на несколько блоков.